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招警数量关系万能解法:行程问题之相遇问题

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从历年的考试大纲和历年的考试分析来看,数学运算中的行程问题一直是常考的一类题。行程问题分为相遇问题,追及问题和流水问题。每一类问题的题型都有相应的解法,只有熟练掌握这些解法,才能提高我们的解题速度,节约时间,在考试中考出优异的成绩。下面专家就行程问题中的相遇问题做专项的讲解。

行程问题的准备知识

行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人(或事物)的数量和运动方向上。相遇(相离)问题和追及问题当中参与者必须是两个人(或事物)以上;如果它们的运动方向相反,则为相遇(相离)问题,如果他们的运动方向相同,则为追及问题。

相遇(相离)问题的基本数量关系:

速度和×相遇时间=相遇(相离)路程

在相遇(相离)问题和追及问题中,考生必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的,这样才能够提高解题速度和能力。

相遇问题的模型为:甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后甲,乙在途中相遇,实质上是两人共同走了A、B之间这段路程,如果两人同时出发,那么:

A,B两地的路程=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间=速度和×相遇时间

相遇问题的核心是“速度和”问题。

例1.某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告,往返需1小时。该劳模在下午1点就离厂步行向学校走来,途中遇到接他的车,便坐上车去学校,于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模步行速度的( )倍。

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

——『2003年中央、国家机关公务员录用考试』

【答案】A 车往返需1小时,实际只用了30分钟,说明车刚好在半路接到劳模,故有车15分钟所走路程=劳模75分钟所走路程。设劳模步行速度为a,汽车速度是劳模的x倍,则可列方程,75a=15ax,解得x=5。

例2.甲、乙两车从A、B两地同时出发,相向而行,如果甲车提前一段时间出发,那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米/时,乙车速度是40千米/时,那么,甲车提前了多少分出发( )分钟。

A. 30

B. 40

C. 50

D. 60

【答案】C 本题涉及相遇问题。方程法:设两车一起走完A、B两地所用时间为x,甲提前了y时,则有(60+40)x=60[y+(x-30)]+40(x-30),y=50。

方法2:甲提前走的路程=甲乙共同走30分钟的路程,那么提前走的时间为,30(60+40)/60=50。

例3.甲、乙二人同时从相距60千米的两地同时相向而行,6小时相遇。如果二人每小时各多行1千米,那么他们相遇的地点距前次相遇点1千米。又知甲的速度比乙的速度快,乙原来的速度为( )

A. 3km/h

B. 4 km/h

C. 5 km/h

D. 6 km/h

【答案】B 原来两人速度和为60÷6=10 km/h,现在两人相遇时间为60÷(10+2)=5小时,设原来乙的速度为X千米/时,因乙的速度较慢,则5(X+1)=6X+1,解得X=4。注意:在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快。

方法2:提速后5小时比原来的5小时多走了5千米,比原来的6小时多走了1千米,可知原来1小时刚好走了5-1=4千米。

二次相遇问题的模型为:甲从A地出发,乙从B地出发相向而行,两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回,乙继续走到A地后返回,第二次在D地相遇。则有:

第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

例4.甲乙两车同时从A、B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,它们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距多少千米?

A. 120

B. 100

C. 90

D. 80

【答案】A 方程法:设两地相距x千米,由题可知,第一次相遇两车共走了x,第二次相遇两车共走了2x,由于速度不变,所以,乙第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍,即54×2=x-54+42,得出x=120。

方法2:乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍,则有54×2-42+54=120。

总之,利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口,从而保证了迅速解题。

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